半衰期公式

公式

$m=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/\tau }$

文字描述：剩餘質量等於初始質量乘以二分之一的t除以半衰期次方（供搜尋用）

變數定義

變數	意義	單位
$m$	經過時間 $t$ 後的剩餘質量	kg 或 g
$m_0$	初始質量	kg 或 g（與 $m$ 同單位）
$t$	經過的時間	s 或年
$\tau$	半衰期（剩餘量減半所需的時間）	s 或年（與 $t$ 同單位）

物理意義

半衰期公式描述的是放射性物質「越來越少，但永遠不會完全消失」的衰減規律。每經過一個半衰期，剩餘的放射性原子核就會少一半——不是每次少固定的量，而是每次少當時剩餘量的一半。這是一種指數衰減：第一個半衰期後剩 $1/2$，第二個半衰期後剩 $1/4$，第三個後剩 $1/8$⋯⋯。單一原子核何時衰變是完全隨機的，但大量原子核的統計行為卻極為規律——這正是半衰期概念之所以有用的原因。不同的放射性元素有不同的半衰期，從幾分之一秒到數十億年不等，而且不受外在環境影響（加溫、加壓、化學反應都無法改變半衰期）。

推導或來源

來自放射性衰變的統計規律。1896 年貝克勒發現放射性現象，之後拉塞福和索迪提出「原子自發蛻變」理論。他們發現放射性衰變的速率與剩餘原子數成正比，即 $\frac{dN}{dt}=-\lambda N$，解此微分方程得到 $N=N_0{e}^{-\lambda t}$，其中 $\lambda$ 是衰變常數。令 $N=N_0/2$ 可求得 $\tau =\frac{\ln 2}{\lambda }$，即半衰期。將指數形式改寫即得到本公式。

應用場景

• 碳-14 定年法——考古學中利用碳-14 的半衰期（約 5730 年）推算古物年代
• 核能發電中核廢料管理——需要知道廢料的放射性多久才會降到安全範圍
• 醫學中放射性示蹤劑的劑量計算
• 教材中用作時間標準的輔助概念，說明不同時間尺度的測量方法

計算範例

碘-131 的半衰期為 8 天，是核醫學中常用的放射性同位素。若醫院購入 100 mg 的碘-131，求經過 24 天後剩餘多少 mg。

已知：$m_0=100$ mg，$\tau =8$ 天，$t=24$ 天 求：剩餘質量 $m$ 解： $\frac{t}{\tau }=\frac{24}{8}=3\text{（經過 3 個半衰期）}$ $m=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/\tau }=100\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=100\times \frac{1}{8}=12.5\text{ mg}$ 答：經過 24 天（3 個半衰期）後，碘-131 剩餘 12.5 mg，即原來的八分之一。

易錯點

此段為 LLM 增強內容。

1. 以為每個半衰期減少的量相同：第一個半衰期從 100 減到 50（少了 50），第二個從 50 減到 25（少了 25），不是每次都少 50。每個半衰期減少的是當時剩餘量的一半，不是初始量的一半。
   • 正確理解：半衰期是「減半」不是「減固定量」
2. 非整數個半衰期時亂算：經過 1.5 個半衰期時不能用「先減半再減四分之一」來算。必須正確代入公式：$m=m_0\times (1/2{)}^{1.5}=m_0\times 0.354$。
   • 正確做法：非整數倍時直接代入公式計算，不要拆成整數部分加零頭
3. 搞混半衰期和衰變常數：半衰期 $\tau$ 是剩餘量減半的時間，衰變常數 $\lambda$ 是衰變速率，兩者的關係是 $\tau =\frac{\ln 2}{\lambda }\approx \frac{0.693}{\lambda }$。代入公式時要注意用的是哪一個。
   • 判斷方式：看題目給的是「減半的時間」還是「每秒衰變比例」

相關公式

• 質能互換公式 — 衰變過程中的質量虧損轉換為輻射能量
• 百分誤差公式 — 碳定年實驗中常需計算測量結果的誤差

相關題目

此章節尚無相關題目