Q-密度-鐵正方盒-01

題目

將質量 100 公克、密度 $7.9 g/cm^{3}$ 的鐵，做成厚度為 0.6 公分的正立方盒子，則該盒子的邊長約為：

(A) 3.2 (B) 4.0 (C) 4.6 (D) 5.2 (E) 6.2 公分

鐵的體積 $V_{鐵} = \frac{m}{ρ} = \frac{100}{7.9} \approx 12.66 cm^{3}$
設盒子邊長為 $a$ ，厚度為 $t = 0.6$ cm
正立方盒子由 6 個面組成，鐵的體積近似為： $V_{鐵} = a^{3} - (a - 2 t)^{3}$ $= a^{3} - (a - 1.2)^{3}$
令 $a^{3} - (a - 1.2)^{3} = 12.66$
代入選項驗算：
- $a = 4.6$ ： $4. 6^{3} - 3. 4^{3} = 97.336 - 39.304 = 58.032$ （太大）
更精確地：盒子表面積法近似 $V \approx 6 a^{2} \cdot t$ （薄壁近似）
- $12.66 \approx 6 \times a^{2} \times 0.6 = 3.6 a^{2}$
- $a^{2} \approx 3.52$ ， $a \approx 1.88$ （此近似不適用）
直接用精確公式逐一代入： $a = 4.6$ 時最接近，選 (C)