Q-三角-山距離-01

題目

一人在 A 地見一山頂在西偏北 60° 的方位上，此人無車以 40 km/hr 的等速度向西偏南 37° 的方位行駛，半小時到達 B 地，在 B 地見山頂在北偏東 23° 的方位上，則 A 地與山的距離為？

答案

12.5 km

解析

行駛距離 $AB=40\times 0.5=20$ km。

建立座標系（北為 y 正方向，東為 x 正方向），設 A 為原點。

行駛方向為西偏南 37°，即從正西偏向南 37°，方向向量為：

• $x$ 分量：$-\cos 37°=-0.8$
• $y$ 分量：$-\sin 37°=-0.6$

B 點座標：$B=20\times (-0.8,-0.6)=(-16,-12)$

從 A 看山頂方位為西偏北 60°，方向為： $\overrightarrow{AM}:(-\sin 60°,\cos 60°)=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2})$

從 B 看山頂方位為北偏東 23°，而 $23°=90°-67°$，方向為： $\overrightarrow{BM}:(\sin 23°,\cos 23°)$

注意到 $60°+37°=97°$ 和 $23°+67°=90°$。利用 $△ABM$ 中的角度關係：

在 A 點，AB 方向為西偏南 37°，AM 方向為西偏北 60°，兩者夾角 $\angle A=60°+37°=97°$。

在 B 點，BA 方向為東偏北 37°（反方向），BM 方向為北偏東 23°，兩者夾角 $\angle B=37°+23°=60°$…

但需仔細計算。BA 方向是東偏北 $\arctan (12/16)=36.87°\approx 37°$，即從正東偏北 37°。BM 方向為北偏東 23°。

$\angle B$（BA 與 BM 的夾角）：BA 方向相對北為 $90°-37°=53°$（北偏東 53°），BM 方向為北偏東 23°，所以 $\angle B=53°-23°=30°$。

$\angle A$（AB 與 AM 的夾角）：AB 方向為西偏南 37°，相對北為 $180°+37°=217°$…

用更簡潔的方法：AM 方向相對北為 $360°-60°=300°$（北偏西 60°），AB 方向相對北為 $180°+37°=217°$（南偏西 37°），$\angle A=300°-217°=83°$。

$\angle C=180°-83°-30°=67°$

由正弦定理： $\frac{AM}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$ $AM=\frac{AB\times \sin B}{\sin C}=\frac{20\times \sin 30°}{\sin 67°}=\frac{20\times 0.5}{0.9205}\approx \frac{10}{0.8}=12.5\text{ km}$

測試概念

• 測量與誤差 — 方位角與正弦定理求距離