Q-密度-液體體積比-01

題目

有 a、b 兩種液體，其密度分別為 $ρ_{1}$ 、 $ρ_{2}$ 。今將兩液體混合時，混合液體的密度為 $\frac{ρ _{1} + 2 ρ _{2}}{3}$ 。假定混合前後的體積總和不變，則 a、b 兩液體原來的體積比為何？

$V_{a} : V_{b} = 1 : 2$

設 a 液體體積為 $V_{a}$ ，b 液體體積為 $V_{b}$
混合密度（體積守恆）： $ρ_{mix} = \frac{ρ _{1} V _{a} + ρ _{2} V _{b}}{V _{a} + V _{b}} = \frac{ρ _{1} + 2 ρ _{2}}{3}$
交叉相乘： $3 (ρ_{1} V_{a} + ρ_{2} V_{b}) = (ρ_{1} + 2 ρ_{2}) (V_{a} + V_{b})$
展開左邊： $3 ρ_{1} V_{a} + 3 ρ_{2} V_{b}$
展開右邊： $ρ_{1} V_{a} + ρ_{1} V_{b} + 2 ρ_{2} V_{a} + 2 ρ_{2} V_{b}$
移項整理： $(3 ρ_{1} - ρ_{1} - 2 ρ_{2}) V_{a} = (ρ_{1} + 2 ρ_{2} - 3 ρ_{2}) V_{b}$
$(2 ρ_{1} - 2 ρ_{2}) V_{a} = (ρ_{1} - ρ_{2}) V_{b}$
$2 (ρ_{1} - ρ_{2}) V_{a} = (ρ_{1} - ρ_{2}) V_{b}$
因 $ρ_{1} \neq = ρ_{2}$ ，消去 $(ρ_{1} - ρ_{2})$ ： $2 V_{a} = V_{b}$
故 $V_{a} : V_{b} = 1 : 2$
驗算：設 $V_{a} = 1, V_{b} = 2$ ， $ρ = \frac{ρ _{1} \cdot 1 + ρ _{2} \cdot 2}{1 + 2} = \frac{ρ _{1} + 2 ρ _{2}}{3}$ ✓