Q-密度-混合密度判斷-01

題目

密度為 ${\rho }_1$ 與 ${\rho }_2$ 的兩液體，且 ${\rho }_1>{\rho }_2$，則下列何者正確？

(A) 取等質量混合後（假定體積守恆），混合密度為 $\frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{2}$ (B) 取等體積混合後（假定體積守恆），混合密度為 $\frac{2{\rho }_1{\rho }_2}{{\rho }_1+{\rho }_2}$ (C) 兩液體任意混合，密度值可以為任意數 (D) 等體積混合的密度比等質量混合的密度大

答案

D

解析

等質量混合（各取質量 $m$）：

• 總質量 = $2m$，總體積 = $\frac{m}{{\rho }_1}+\frac{m}{{\rho }_2}$
• ${\rho }_{\text{等質}}=\frac{2m}{\frac{m}{{\rho }_1}+\frac{m}{{\rho }_2}}=\frac{2{\rho }_1{\rho }_2}{{\rho }_1+{\rho }_2}$（調和平均）

等體積混合（各取體積 $V$）：

• 總質量 = ${\rho }_{1}V+{\rho }_{2}V$，總體積 = $2V$

• ${\rho }_{\text{等體}}=\frac{({\rho }_1+{\rho }_2)V}{2V}=\frac{{\rho }_1+{\rho }_2}{2}$（算術平均）

• (A) 這是等體積混合的結果，不是等質量混合 ✗

• (B) 這是等質量混合的結果，不是等體積混合 ✗

• (C) 混合密度必介於 ${\rho }_1$ 與 ${\rho }_2$ 之間 ✗

• (D) 算術平均 ≥ 調和平均（AM-HM 不等式），故 ${\rho }_{\text{等體}}\ge {\rho }_{\text{等質}}$，等號成立於 ${\rho }_1={\rho }_2$ ✓

測試概念

• 密度 — 等質量混合為調和平均，等體積混合為算術平均，算術平均 ≥ 調和平均