單擺週期公式

公式

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

文字描述：單擺週期等於二派乘以擺長除以重力加速度的平方根（供搜尋用）

變數定義

變數	意義	單位
$T$	週期（擺動一次完整往返的時間）	s（秒）
$L$	擺長（懸掛點到擺球質心的距離）	m（公尺）
$g$	重力加速度（地表約 9.80 m/s²）	m/s²

物理意義

單擺週期公式告訴我們一個驚人的事實：擺動的快慢只和擺長與重力加速度有關，和擺球的質量、擺動的幅度（小角度範圍內）完全無關。擺長越長，週期越長（擺得越慢）；重力加速度越大，週期越短（擺得越快）。這就是為什麼同一個擺鐘帶到月球上會變慢——月球的重力加速度只有地球的六分之一。另外，週期和擺長的關係是開根號，所以擺長要增為 4 倍，週期才會變成 2 倍。

推導或來源

伽利略在 1583 年觀察教堂吊燈擺動時發現了「等時性」——不論擺動幅度大小（小角度時），每次擺動的時間幾乎相同（詳見單擺）。後來用牛頓力學推導：在小角度近似（$\sin \theta \approx \theta$，$\theta$ 以弧度計且 $\theta <5°$）下，單擺的運動方程簡化為簡諧運動，從而得到此週期公式。此公式也是時間標準的歷史基礎——擺鐘長期作為人類最精準的計時工具。

應用場景

• 擺鐘設計：擺長約 1 m 時週期約 2 秒，恰好適合做「秒擺」
• 測量重力加速度 $g$：精確測量 $T$ 和 $L$，代入公式反推 $g$
• 驗證時間標準的歷史演進（從擺鐘到原子鐘）
• 教材實驗中常搭配測量值與誤差和百分誤差公式來分析測量結果

計算範例

某生在實驗中測得單擺擺長 L = 0.80 m，在擺角小於 5° 的條件下，測量 20 次完整擺動共需 35.8 秒。求：(1) 實驗測得的週期 (2) 由此推算的重力加速度 (3) 與理論值 9.80 m/s² 的百分誤差

已知：$L=0.80$ m，20 次擺動時間 $=35.8$ s，理論值 $g_0=9.80$ m/s² 求：$T$（週期）、$g$（實驗值）、百分誤差 解： $T=\frac{35.8}{20}=1.79\text{ s}$ 由 $T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ 反推 $g$： $g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}=\frac{4\times (3.14159{)}^2\times 0.80}{(1.79{)}^2}=\frac{4\times 9.8696\times 0.80}{3.2041}=\frac{31.583}{3.2041}\approx 9.86{\text{ m/s}}^2$ $百分誤差=\frac{|9.86-9.80|}{9.80}\times 100\%=\frac{0.06}{9.80}\times 100\%\approx 0.61\%$ 答：實驗測得週期為 1.79 s，推算重力加速度為 9.86 m/s²，百分誤差約 0.61%。

易錯點

此段為 LLM 增強內容。

1. 擺長量錯位置：擺長 $L$ 是懸掛點到擺球質心的距離，不是到球的頂端或底端。若用到球的底端計算，$L$ 會偏大，算出的 $g$ 也會偏大。
   • 正確做法：$L$ = 繩長 + 擺球半徑
2. 忘記小角度限制：此公式只在擺角小於約 5° 時成立。若擺角太大，實際週期會比公式算出的值稍長，公式就不再準確。
   • 正確做法：實驗時確保擺角在 5° 以內
3. 週期和擺長的關係搞錯比例：以為擺長加倍、週期也加倍。實際上週期和 $\sqrt{L}$ 成正比，擺長要變成 4 倍，週期才會變成 2 倍。
   • 記憶口訣：$L\times 4\Rightarrow T\times 2$；$L\times 9\Rightarrow T\times 3$

相關公式

• 百分誤差公式 — 單擺實驗中常用來評估測量 $g$ 的精確度
• 絕對誤差公式 — 計算測量值與理論值的差
• 萬有引力定律公式 — 重力加速度 $g$ 的來源是地球的萬有引力

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