萬有引力定律公式

公式

$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$

文字描述：萬有引力等於萬有引力常數乘以兩物體質量的乘積再除以距離的平方（供搜尋用）

變數定義

變數	意義	單位
$F$	兩物體之間的萬有引力	N（牛頓）
$G$	萬有引力常數 $=6.674\times 10^{-11}$	N·m²/kg²
$m_1$	第一個物體的質量	kg（公斤）
$m_2$	第二個物體的質量	kg（公斤）
$r$	兩物體質心之間的距離	m（公尺）

物理意義

萬有引力定律揭示了一個深刻的事實：宇宙中任何兩個有質量的物體之間都存在引力，不論大小，無一例外。這個力和兩者的質量乘積成正比——質量越大，引力越強；同時和距離的平方成反比——距離拉遠一倍，引力變成四分之一。不過，萬有引力常數 $G$ 非常小（$6.674\times 10^{-11}$），所以日常物體之間的引力小到感覺不到——兩個各 1 kg 的物體相距 1 m，引力只有約 $6.7\times 10^{-11}$ N。只有當至少一個物體的質量達到天體等級（如地球 $6\times 10^{24}$ kg），引力才會大到明顯。我們感受到的「重力」其實就是地球對我們的萬有引力。

推導或來源

由牛頓從克卜勒的行星運動三大定律反推而得。克卜勒根據第谷的天文觀測數據歸納出行星運動的三條經驗定律（橢圓軌道、等面積速率、週期平方正比半軸三次方），牛頓再從這些規律中推導出背後的力學定律——萬有引力。這項推導是古典物理學的巔峰成就之一，統一了天上（行星運動）和地上（蘋果落地）的力學現象（詳見萬有引力定律）。

應用場景

• 計算天體之間的引力（如地球與月球、太陽與行星）
• 推算行星軌道和衛星運動
• 解釋地表重力加速度 $g$ 的來源：$g=\frac{GM}{R^2}$（$M$ 為地球質量，$R$ 為地球半徑）
• 與庫侖定律公式對比，理解自然界平方反比定律的普遍性

計算範例

地球質量 $M=6.0\times 10^{24}$ kg，一個學生的質量 $m=60$ kg，地球半徑 $R=6.4\times 10^6$ m。求地球對該學生的萬有引力。

已知：$m_1=M=6.0\times 10^{24}$ kg，$m_2=m=60$ kg，$r=R=6.4\times 10^6$ m，$G=6.674\times 10^{-11}$ N·m²/kg² 求：萬有引力 $F$ 解： $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}=6.674\times 10^{-11}\times \frac{6.0\times 10^{24}\times 60}{(6.4\times 10^6{)}^2}$ $=6.674\times 10^{-11}\times \frac{3.6\times 10^{26}}{4.096\times 10^{13}}$ $=6.674\times 10^{-11}\times 8.789\times 10^{12}=586.5\text{ N}$ 答：地球對該學生的萬有引力約為 587 N，相當於約 60 公斤重，正好就是我們平常感受到的體重。

易錯點

此段為 LLM 增強內容。

1. 距離 $r$ 搞錯定義：$r$ 是兩物體質心之間的距離，不是表面之間的距離。計算人站在地表受到的引力時，$r$ 等於地球半徑（從地心到地表），不是 0。
   • 正確做法：站在地表時 $r=R$（地球半徑），不是人到地面的距離
2. 和庫侖定律搞混：萬有引力永遠是吸引力（只有正質量），不像靜電力有吸引和排斥之分。不要在萬有引力題目中寫出「排斥力」。
   • 記憶口訣：重力只吸不排，靜電有吸有排
3. $G$ 和 $g$ 混淆：$G$ 是萬有引力常數（$6.674\times 10^{-11}$），$g$ 是地表重力加速度（$9.80$ m/s²），兩者意義和數值完全不同。
   • 辨別方式：大 $G$ 是宇宙常數，小 $g$ 是地表專屬

相關公式

• 庫侖定律公式 — 同為平方反比定律，結構幾乎相同，但描述靜電力
• 單擺週期公式 — 週期公式中的 $g$ 來自萬有引力
• 密度公式 — 天體密度可由萬有引力推算

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