Q-單擺-標準擺長-01

題目

在相同時間內以長 $l_1$ 的單擺計時較標準擺快 t 秒，而長改為 $l_2$ 時較標準擺慢 t 秒，則標準擺之擺長為何？

答案

$L=\frac{4l_1{l}_2}{(\sqrt{l_1}+\sqrt{l_2}{)}^2}$

解析

設標準擺長為 L，在相同時間 τ 內：

• 快 t 秒：$\frac{\tau }{T_1}-\frac{\tau }{T_0}=t$（擺 1 多擺了 t 秒的次數）
• 慢 t 秒：$\frac{\tau }{T_0}-\frac{\tau }{T_2}=t$

由兩式相加：$\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{2}{T_0}$

代入 $T\propto \sqrt{L}$：$\frac{1}{\sqrt{l_1}}+\frac{1}{\sqrt{l_2}}=\frac{2}{\sqrt{L}}$

$\sqrt{L}=\frac{2\sqrt{l_1{l}_2}}{\sqrt{l_1}+\sqrt{l_2}}$

$L=\frac{4l_1{l}_2}{(\sqrt{l_1}+\sqrt{l_2}{)}^2}$

測試概念

• 單擺週期公式 — 週期與擺長的關係