Q-因次-單擺因次分析-01

題目

小角度擺動的單擺，具有等時性，已知其週期 T 與擺長 L 以及重力加速度 g 有關，若其關係可表為 T = CL^a g^b，C 為無單位的常數。則：(1) 式中的 a 值為何？(2) 式中的 b 值為何？

答案

a = 1/2, b = -1/2

解析

由因次分析：

• T 的因次：$[T]$
• L 的因次：$[L]$
• g 的因次：$[L{T}^{-2}]$

$[T]=[L{]}^a[L{T}^{-2}{]}^b=[L^{a+b}][T^{-2b}]$

比較因次：

• L：$a+b=0$
• T：$-2b=1\Rightarrow b=-\frac{1}{2}$
• 代入：$a=\frac{1}{2}$

所以 $T=C\sqrt{L/g}$，與單擺週期公式 $T=2\pi \sqrt{L/g}$ 一致。

測試概念

• 因次分析 — 用因次分析推導物理公式
• 單擺週期公式 — 驗證因次分析的結果