游標尺讀數公式

公式

$\text{讀數}=u+\frac{x}{n+1}$

文字描述：游標尺讀數等於主尺讀數加上副尺對齊格數除以副尺總格數（供搜尋用）

變數定義

變數	意義	單位
$u$	主尺讀數（副尺零線左側的主尺刻度）	mm
$x$	副尺上與主尺刻度對齊的格數	無單位（格數）
$n+1$	副尺的總格數	無單位

物理意義

游標尺巧妙地利用了「刻度差」原理來實現超越主尺最小刻度的精確測量。其核心想法是：副尺的 $n+1$ 格等於主尺的 $n$ mm，所以副尺每格比主尺每格短了 $\frac{1}{n+1}$ mm。當你合上游標尺夾住物體時，副尺零線通常不會恰好對齊主尺的某條刻度——但副尺上一定有某一條線會和主尺的某條線完美對齊。那條線的格數 $x$ 乘以每格差 $\frac{1}{n+1}$ mm，就是需要補上的小數部分。例如 20 格的副尺（$n+1=20$），精度為 $\frac{1}{20}=0.05$ mm，這就是為什麼游標尺能讀到 0.05 mm 的原因。

推導或來源

來自游標尺的副尺設計原理。副尺 $n+1$ 格的總長等於主尺 $n$ mm，因此副尺每格的長度為 $\frac{n}{n+1}$ mm。主尺每格 1 mm 和副尺每格 $\frac{n}{n+1}$ mm 的差就是 $1-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{n+1}$ mm，這個差值就是游標尺的最小讀數。當副尺的第 $x$ 格和主尺對齊時，表示副尺零線超過主尺讀數 $u$ 恰好 $x\times \frac{1}{n+1}$ mm，因此總讀數 $=u+\frac{x}{n+1}$。

應用場景

• 物理實驗中精密測量物體的長度、外徑、內徑和深度
• 搭配密度公式的實驗——用游標尺測量圓柱體的直徑和高度以計算體積
• 教材中常見的 10 格、20 格、50 格游標尺對應的精度分別為 0.1 mm、0.05 mm、0.02 mm
• 與螺旋測微器讀數公式比較，理解不同測量工具的精度差異

計算範例

某生使用 20 格游標尺測量金屬圓柱的外徑。主尺讀數 u = 23 mm，副尺第 7 格與主尺對齊。求圓柱外徑。

已知：$u=23$ mm，$x=7$，$n+1=20$ 求：讀數 解： $\text{讀數}=u+\frac{x}{n+1}=23+\frac{7}{20}=23+0.35=23.35\text{ mm}$ 答：金屬圓柱的外徑為 23.35 mm。其中 23 mm 來自主尺讀數，0.35 mm 來自副尺第 7 格對齊（$7\times 0.05=0.35$ mm）。

易錯點

此段為 LLM 增強內容。

1. 主尺讀數看錯位置：主尺讀數 $u$ 是副尺零線左側最近的主尺刻度，不是副尺上任意一條線對齊的位置。有些學生會直接看副尺中間某條線旁邊的主尺讀數，這是錯的。
   • 正確做法：永遠先找副尺的零線在哪裡，再讀它左邊的主尺刻度
2. 搞混「幾格對齊」和「哪一格對齊」：副尺第 7 格對齊代表 $x=7$（從零線開始數第 7 格），不是第 7 條線。要注意零線本身是第 0 格。
   • 正確做法：從副尺零線開始往右數，第幾格和主尺對齊就是 $x$
3. 不同精度的游標尺讀數格式搞混：10 格副尺讀到 0.1 mm（小數點後一位），20 格讀到 0.05 mm（小數點後兩位），50 格讀到 0.02 mm（小數點後兩位）。記錄時必須寫到該精度對應的位數。
   • 範例：20 格游標尺測得 23.30 mm，不能寫成 23.3 mm（因為精度是 0.05 mm，末位必須是 0 或 5）

相關公式

• 螺旋測微器讀數公式 — 另一種精密長度測量工具，精度更高（0.01 mm）
• 密度公式 — 游標尺測長度計算體積，再配合質量求密度
• 百分誤差公式 — 測量後評估結果的精確度

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